【題目】已知函數(shù)，.

（1）若對時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍（e為自然對數(shù)的底數(shù)）；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)的極大值；

（3）求證：當(dāng)時，曲線與直線有且僅有一個公共點.

【答案】（1）（2）0（3）見解析

【解析】

（1）因為，，所以不等式，構(gòu)造函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，參變分離即可求出參數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值；

（3）令，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的零點個數(shù)，即可得證.

解：（1）因為，，

所以不等式恒成立等價于.

令，因為時，不等式恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以在恒成立，

即在恒成立，而，

所以，即，

所以實數(shù)a的取值范圍為.

（2）當(dāng)時，，

則（），

令，恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

又因為，

所以在上，在上，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的極大值為.

（3）令，

則

因為，，

所以恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

而，，

因為，，，

所以，

因為函數(shù)在上有且僅有一個零點，

所以當(dāng)時，曲線與直線有且只有一個公共點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的短軸兩端點與左焦點圍成的三角形面積為3，短軸兩端點與長軸一端點圍成的三角形面積為2，設(shè)橢圓的左、右頂點分別為是橢圓上除兩點外一動點．

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的左焦點作平行于直線（是坐標(biāo)原點）的直線，與曲線交于兩點，點關(guān)于原點的對稱點為，求證：成等比數(shù)列．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，點D在橢圓C上， 的周長為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過圓上任意一點P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，求證：為定值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓與拋物線的一個公共點，且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點．

（1）求橢圓及拋物線的方程；

（2）設(shè)過且互相垂直的兩動直線，與橢圓交于兩點，與拋物線交于兩點，求四邊形面積的最小值

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)存在兩個極值點，，且，證明：．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為

（1）在曲線上任取一點,連接,在射線上取一點，使,求點軌跡的極坐標(biāo)方程；

（2）在曲線上任取一點,在曲線上任取一點,求的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）判斷函數(shù)：在的單調(diào)性；

（2）對于區(qū)間上的任意不相等實數(shù)、，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在棱長均相等的四棱錐中, 為底面正方形的中心, ,分別為側(cè)棱,的中點,有下列結(jié)論正確的有：( )

A.∥平面B.平面∥平面

C.直線與直線所成角的大小為D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的部分圖象如圖所示，，當(dāng)，時，則的最大值為_________.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案