【題目】設(shè)橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)D在橢圓C上， 的周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)圓上任意一點(diǎn)P作圓E的切線(xiàn)l，若l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

(1) 由，周長(zhǎng),解得,即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)通過(guò)特殊情況的斜率不存在時(shí),求得,再證明的斜率存在時(shí),即可證得為定值.通過(guò)設(shè)直線(xiàn)的方程為與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理求得,利用直線(xiàn)與圓相切,即,求得的關(guān)系代入,化簡(jiǎn)即可證得即可證得結(jié)論.

（1）由題意得，周長(zhǎng)，且.

聯(lián)立解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)其方程為，

則，

所以，即.

②當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，并設(shè)，

由，

，，

由直線(xiàn)l與圓E相切，得.

所以

.

從而，即.

綜合上述，得為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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年齡（單位：歲）

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（1）試用含有的式子表示，并討論的單調(diào)性；

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若對(duì)任意，均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中，，，現(xiàn)將沿BD折起，則當(dāng)直線(xiàn)AD與平面BCD所成角為時(shí)，直線(xiàn)AC與平面ABD所成角的正弦值為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍，并證明.

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）若對(duì)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值；

（3）求證：當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)與直線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

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