已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f(x)>－2x的解集為(1,3)．

(1)若方程f(x)＋6a＝0有兩個(gè)相等的根，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．


　(1)∵f(x)＋2x>0的解集為(1,3)，

∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，

即f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①

由f(x)＋6a＝0，得

ax2－(2＋4a)＋9a＝0.②

∵方程②有兩個(gè)相等的根，

∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，

即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.

由于a<0，故舍去a＝1，將a＝－代入①，

得f(x)＝－x2－x－.

(2)f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a

＝

由a<0，可得f(x)的最大值為－>0，

由

解得a<－2－或－2＋<a<0.

故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝(　　)

A．－2                                                          B．0

C．1                                                             D．2

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已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立．

(1)函數(shù)f(x)＝x是否屬于集合M？說(shuō)明理由；

(2)設(shè)f(x)∈M，且T＝2，已知當(dāng)1<x<2時(shí)，f(x)＝x＋lnx，當(dāng)－3<x<－2時(shí)，求f(x)的解析式．

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已知點(diǎn)(，2)在冪函數(shù)y＝f(x)的圖像上，點(diǎn)(－，)在冪函數(shù)y＝g(x)的圖像上，若f(x)＝g(x)，則x＝______.

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已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2的定義域和值域均為[1，b]，則b＝________.

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已知a>0，a≠1，函數(shù)y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是(　　)

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設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.

(1)記集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，且a＝b}，則(a，b，c)∈M所對(duì)應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為_(kāi)_______；

(2)若a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))

①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；

②∃x∈R，使ax，bx，cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；

③若△ABC為鈍角三角形，則∃x∈(1,2)，使f(x)＝0.

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若函數(shù)f(x)＝則f(log43)＝________.

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設(shè)y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，則(　　)

A．y3>y1>y2                                                   B．y2>y1>y3

C．y1>y2>y3                                                   D．y1>y3>y2

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