Question

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，F(xiàn)B=FC，∠BFC=90°，AE=

3

，H是BC的中點．
（1）求證：FH∥平面BDE；
（2）求證：AB⊥平面BCF；
（3）求五面體ABCDEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）設AC與BD交于點O，則點O是AC的中點，連接OH，EO，通過證明四邊形EOHF是平行四邊形，證明FH∥平面EDB；
（2）先證明出四邊形EMBF是平行四邊形，推斷出EM∥FB，EM=FB．進而在Rt△BFC中求得EM，在△AEM中，根據(jù)邊長推斷出AM²+EM²=3=AE²，進而證明出AM⊥EM．然后證明出四邊形ABCD是正方形，進而推斷出AB⊥BC．最后通過線面垂直的判定定理證明出AB⊥平面BCF；
（3）求出四棱錐E-ABCD的體積為V₁═

1

3

×1×22=

4

3

，三棱錐E-BCF的體積為V2=

1

3

•EF•S△BCF=

1

3

×1×

1

2

×(

2

)2=

1

3

，即可求出五面體ABCDEF的體積．

解答： （1）證明：連接AC，AC與BD相交于點O，則點O是AC的中點，連接OH，EO，
∵H是BC的中點，
∴OH∥AB，OH=

1

2

AB=1．…（1分）
∵EF∥平面ABCD，EF?平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，
∴EF∥AB．…（2分）
∵EF=1，
∴OH∥EF，OH=EF．
∴四邊形EOHF是平行四邊形．
∴EO∥FH，EO=FH．…（3分）
∵EO?平面BDE，F(xiàn)H?平面BDE，
∴FH∥平面BDE．…（4分）
（2）證明：取AB的中點M，連接EM，則AM=MB=1，
由（1）知，EF∥MB，且EF=MB，
∴四邊形EMBF是平行四邊形．
∴EM∥FB，EM=FB．…（5分）
在Rt△BFC中，F(xiàn)B²+FC²=BC²=4，又FB=FC，得FB=

2

．
∴EM=

2

．…（6分）
在△AME中，AE=

3

，AM=1，EM=

2

，
∴AM²+EM²=3=AE²．
∴AM⊥EM．…（7分）
∴AM⊥FB，即AB⊥FB．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB⊥BC．…（8分）
∵FB∩BC=B，F(xiàn)B?平面BCF，BC?平面BCF，
∴AB⊥平面BCF．…（9分）
（3）解：連接EC，
在Rt△BFC中，FH=

1

2

BC=1，
∴EO=FH=1．
由（2）知AB⊥平面BCF，且EF∥AB，
∴EF⊥平面BCF．…（10分）
∵FH⊥平面ABCD，EO∥FH，
∴EO⊥平面ABCD．…（11分）
∴四棱錐E-ABCD的體積為V₁═

1

3

×1×22=

4

3

．…（12分）
∴三棱錐E-BCF的體積為V2=

1

3

•EF•S△BCF=

1

3

×1×

1

2

×(

2

)2=

1

3

．…（13分）
∴五面體ABCDEF的體積為V=V1+V2=

5

3

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理，直線與平面垂直的判定定理，幾何體的體積的求法，考查計算能力．