Question

一個簡單多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，它的正視圖和側視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，俯視圖為正方形．
（Ⅰ）求證：PC⊥BD；
（Ⅱ）試在線段PD上確定一點E，使得PB∥面ACE；
（Ⅲ）求這個簡單多面體的表面積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）先證明BD⊥面PAC，PC?面PAC∴BD⊥PC；（Ⅱ）連接BD交于點O，連接EO．∵EO∥PB，EO?面PEC∴PB∥面PEC；（Ⅲ） S_表=S_△PAB+S_△PAD+S_四ABCD+S_△PBC+S_△PDC 根據條件計算三角形的面積即可．

解答： （Ⅰ）連接BD，∵俯視圖ABCD是正方形∴BD⊥AC
又PA⊥面ABCD∴PA⊥BD
PA∩AC=A∴BD⊥面PAC   PC?面PAC∴BD⊥PC      （4分）
（Ⅱ）存在點E是PD的中點使PB∥面ACE，連接BD交于點O，連接EO．
∵EO∥PB，EO?面PEC
∴PB∥面PEC                                               （8分）
（Ⅲ）S_△PAB=S_△PAD=

1

2

×1×1=

1

2

S_四ABCD=1…（11分）
∵BC⊥BA   BC⊥PA
∴BC⊥面PAB
∴BC⊥PB，S_△PBC=

1

2

×BC×PB=

1

2

×1×

2

=

2

2

…（13分）
同理S_△PDC=

1

2

×CD×PD=

1

2

×1×

2

=

2

2

∴S_表=S_△PAB+S_△PAD+S_四ABCD+S_△PBC+S_△PDC=

1

2

+

1

2

+1+

2

2

+

2

2

=2+

2

…（13分）

點評：本題考查線線垂直，線面平行，及幾何體的表面積，考查空間想象能力，及運算能力．