Question

12．函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²，在x=1時(shí)有極值10，
（1）求a，b的值；
（2）求曲線y=f（x）的切線的斜率的最小值．

Answer 1

分析 （1）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），根據(jù)條件列出方程組求出a、b的值，并根據(jù)極值的定義進(jìn)行驗(yàn)證；
（2）由（1）求出的值代入f′（x），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出切線的斜率的最小值．

解答 解：（1）由題意得，f′（x）=3x²+2ax+b，…（2分）
∵在x=1時(shí)有極值10，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a+b=0}\\{f（1）=1+a+b+{a}^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$，
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)a=-3時(shí)，x=1不是極值點(diǎn)，
∴a=4，b=-11；…（8分）
（2）當(dāng)a=4，b=-11時(shí)，$f'（x）=3{x^2}+8x-11=3{（x+\frac{4}{3}）^2}-\frac{49}{3}$，…（11分）
∴$x=-\frac{4}{3}$時(shí)，切線的斜率最小值為$-\frac{49}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)極值的條件的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．