Question

4．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，準(zhǔn)線方程是y=-1的拋物線與過點(diǎn)M（0，1）的直線l交于A，B兩點(diǎn)，若直線OA和直線OB的斜率之和為1
（Ⅰ）求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=2py，由準(zhǔn)線方程是y=-1，可得p=2，即可求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：x²-4kx-4=0，根據(jù)韋達(dá)定理可得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知拋物線焦點(diǎn)在y軸正半軸，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=2py，
由準(zhǔn)線方程是y=-1，可得p=2，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y；（6分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，
代人拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程消y整理得x²-4kx-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=1$①
因?yàn)閥₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，代人①，得$2k+（\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}）=1$②
因?yàn)閤₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，代人②得k=1，
所以直線l的方程為：y=x+1．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線的一般式方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，以及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．