某商場為促銷要準(zhǔn)備一些正三棱錐形狀的裝飾品,用半徑為10cm的圓形包裝紙包裝.要求如下:正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合,包裝紙不能裁剪,沿底邊向上翻折,其邊緣恰好達(dá)到三棱錐的頂點,如圖所示.設(shè)正三棱錐的底面邊長為xcm,體積為Vcm3.在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中,V的最大值是多少?并求此時x的值.
考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用
專題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離
分析:設(shè)正三棱錐側(cè)面的高為h0,高為h,求出正三棱錐體積,利用導(dǎo)數(shù)的方法求解即可.
解答: 解:正三棱錐展開如圖所示.當(dāng)按照底邊包裝時體積最大.
設(shè)正三棱錐側(cè)面的高為h0,高為h.
由題意得:
3
6
x+h0=10,解得h0=10-
3
6
x.…(2分)
則h=
h02-
x2
12
=
100-
10
3
3
x
,x∈(0,10
3
).             …(5分)
所以,正三棱錐體積V=
1
3
Sh=
1
3
×
3
4
x2×
100-
10
3
3
x

=
3
x2
12
100-
10
3
3
x
.                          …(8分)
設(shè)y=V2=
x4
48
(100-
10
3
3
x)=
100x4
48
-
10x5
48
3

求導(dǎo)得y′=
100x3
12
-
50x4
48
3
,令y′=0,得x=8
3
,…(10分)
當(dāng)x∈(0,8
3
)時,y′>0,y隨著x的增加而增大,
當(dāng)x∈(8
3
,10
3
)時,y′<0,y隨著x的增加而減小,
所以,當(dāng)x=8
3
 cm時,y取得極大值也是最大值.                         …(12分)
此時y=15360,所以Vmax=32
15
 cm3
答:當(dāng)?shù)酌孢呴L為8
3
cm時,正三棱錐的最大體積為32
15
cm3.              …(14分)
點評:本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積,考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,確定正三棱錐體積是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2|x|,設(shè)g(x)=
f(x),f(x)≥2
2,f(x)<2
,則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是( 。
A、[0,+∞)
B、[1,+∞)
C、(-∞,0]
D、(-∞,-1]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

曲線y=x2-x+4上一點P處的切線的斜率為5,則點P的坐標(biāo)為( 。
A、(3,-10)
B、(3,10)
C、(2,-8)
D、(2,8)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)用反證法證明:在△ABC中,若∠C是直角,則∠B為銳角.
(2)已知某分?jǐn)?shù)分母為a,分子為b(其中a>b>0),若在該分?jǐn)?shù)分子和分母分別加上一正數(shù)m得到一個新的分?jǐn)?shù),試判斷原分?jǐn)?shù)和新分?jǐn)?shù)的大小,并證明之.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合S={x|x=m2+n2,m,n∈Z},求證:若a,b∈S,則ab∈S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知△ABC,△CDE都為等邊三角形,連接AE,BE,取BE的中點為O,連接AO,并延長AO到F,使BF=AE,求證△BDF為等邊三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E的左右焦點分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),離心率等于
1
2

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)斜率為-
1
2
的直線l與橢圓E有且只有一個公共點P,過點P作直線l的垂線m,直線m與x軸相交于點Q,求證:∠F1PQ=∠F2PQ.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A(-1,2),B(2,8),
(1)若
AC
=
1
3
AB
DA
=-
2
3
AB
,求
CD
的坐標(biāo);
(2)設(shè)G(0,5),若
AE
BG
,
BE
BG
,求E點坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點P0(x0,y0)在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)內(nèi),求過P0的弦中點的軌跡方程.

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