Question

【題目】如圖，AB是圓柱的一條母線，已知BC過底面圓的圓心O，D是圓O上不與點B、C重合的任意一點，：

（1）求直線AC與平面ABD所成角的大��；

（2）求點B到平面ACD的距離；

（3）將四面體ABCD繞母線AB旋轉(zhuǎn)一周，求由旋轉(zhuǎn)而成的封閉幾何體的體積；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】

（1）由AB⊥CD，BD⊥CD得出CD⊥平面ABD，故而∠CAD即為所求角，利用勾股定理得出AC，即可得出sin∠CAD；

（2）過B作BM⊥AD，垂足為M，通過證明平面ABD⊥平面ACD得出BM⊥平面ACD，利用等面積法求出BM；

（3）△ACD繞AB旋轉(zhuǎn)而成的封閉幾何體為大圓錐中挖去一個小圓錐，使用作差法求出體積．

（1）∵AB⊥平面BCD，CD平面BCD，

∴AB⊥CD，

∵BC是圓O的直徑，

∴BD⊥CD，

又BD平面ABD，AB平面ABD，AB∩BDE＝B，

∴CD⊥平面ABD．

∴∠CAD是AC與平面ABD所成的角．

∵AB＝BC＝5，∴AC＝5，

∴sin∠CAD．

∴直線AC與平面ABD所成角的大小為．

（2）過B作BM⊥AD，垂足為M，

由（1）得CD⊥平面ABD，CD平面ACD，

∴平面ABD⊥平面ACD，

又平面ABD∩平面ACD＝AD，BM平面ABD，BM⊥AD，

∴BM⊥平面ACD．

∵BD4，∴AD．

∴BM．即B到平面ACD的距離為．

（3）線段AC繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以BC為底面半徑，以AB為高的圓錐，

線段AD繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以BD為底面半徑，以AB為高的圓錐，

∴△ACD繞AB旋轉(zhuǎn)一周而成的封閉幾何體的體積V15π．