Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對一切x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化即可解不等式．

解答： 解：（1）∵對一切x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）．
∴當x=y=0時，f（0）=f（0）+f（0），則f（0）=0，
令y=1，則f（x）=f（x）+f（1），則f（1）=0，
令x=y=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1）=0，
則f（-1）=0，
令y=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）∵f（xy）=f（x）+f（y）．
∴不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．
等價為f[（3x+1）（2x-6）]≤3．
若f（4）=1，
則f（16）=f（4）+f（4）=1+1=2，
f（4）+f（16）=f（64）=1+2=3，
則f[（3x+1）（2x-6）]≤3．
等價為f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）．
∵f（x）是偶函數(shù)且f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
∴不等式等價為-64≤（3x+1）（2x-6）≤64．
即-64≤6x²-16x-6≤64．
即

6x2-16x+58≥0 6x2-16x-70≤0

，
則

3x2-8x+29≥0 (2x-10)(3x+7)≤0

，
解得-

7

3

≤x≤5．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．