Question

設(shè)橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為B₁，左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，且F₂和拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)重合，△F₁B₁F₂是正三角形．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）過F₂作直線l，與C₁交于A、B兩點(diǎn)，與C₂交于C、D兩點(diǎn)，求

S△F1CD

S△F1AB

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），由此得到c=1，由△F₁B₁F₂是正三角形，得到a=2，b=

3

，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為x=ty，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），聯(lián)立

x=ty+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出

S△F1CD

S△F1AB

的最小值．

解答： 解：（1）拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），
∵橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為B₁，
左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，且F₂和拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)重合，
∴c=1，又△F₁B₁F₂是正三角形，∴a=2，b=

3

，
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)直線l的方程為x=ty，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
聯(lián)立

x=ty+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴y1+y2=-

6t

3t2+4

，y1y2=-

9

3t2+4

，
S△F1AB=

1

2

|F1F2|×|y1-y2|
=

(y1+y2)2-4y1y2

=

12 t2+1

3t2+4

，
聯(lián)立

x=ty+1 y2=4x

，得y²-4ty-4=0，
∴y₃+y₄=4t，y₃•y₄=-4，
S△F1CD=

1

2

|F1F2|×|y3-y4|
=

(y3+y4)2-4y1y2

=4

t2+1

，

S△F1CD

S△F1AB

=

1 2 |F1F2|×|y3-y4|

1 2 |F1F3|×|y1-y2|

=

|y3-y4|

|y1-y2|

=

4 t2+1

12 t2+1 3t2+4

=

3t2+4

3

≥

4

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時取等號，
∴(

S△F1CD

S△F1AB

)min=

4

3

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩個三角形面積比值的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．