Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，直線y=x被橢圓C截得的線段長為

4 10

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是橢圓C的頂點）．點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點．
（i）設直線BD，AM的斜率分別為k₁，k₂，證明存在常數λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由橢圓離心率得到a，b的關系，化簡橢圓方程，和直線方程聯(lián)立后求出交點的橫坐標，把弦長用交點橫坐標表示，則a的值可求，進一步得到b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）（i）設出A，D的坐標分別為（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），（x₂，y₂），用A的坐標表示B的坐標，把AB和AD的斜率都用A的坐標表示，寫出直線AD的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數關系得到AD橫縱坐標的和，求出AD中點坐標，則BD斜率可求，再寫出BD所在直線方程，取y=0得到M點坐標，由兩點求斜率得到AM的斜率，由兩直線斜率的關系得到λ的值；
（ii）由BD方程求出N點坐標，結合（i）中求得的M的坐標得到△OMN的面積，然后結合橢圓方程利用基本不等式求最值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

，則a²=4b²．
∴橢圓C的方程可化為x²+4y²=a²．
將y=x代入可得x=±

5 a

5

，
因此

2

×

2 5 a

5

=

4 10

5

，解得a=2．
則b=1．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）（i）設A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），
則B（-x₁，-y₁）．
∵直線AB的斜率kAB=

y1

x1

，
又AB⊥AD，
∴直線AD的斜率kAD=-

x1

y1

．
設AD方程為y=kx+m，
由題意知k≠0，m≠0．
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
∴x1+x2=-

8mk

1+4k2

．
因此y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+4k2

．
由題意可得k1=

y1+y2

x1+x2

=-

1

4k

=

y1

4x1

．
∴直線BD的方程為y+y1=

y1

4x1

(x+x1)．
令y=0，得x=3x₁，即M（3x₁，0）．
可得k2=-

y1

2x1

．
∴k1=-

1

2

k2，即λ=-

1

2

．
因此存在常數λ=-

1

2

使得結論成立．
（ii）直線BD方程為y+y1=

y1

4x1

(x+x1)，
令x=0，得y=-

3

4

y1，即N（0，-

3

4

y1）．
由（i）知M（3x₁，0），
可得△OMN的面積為S=

1

2

×3×|x1|×

3

4

|y1|=

9

4

|

x1

2

||y1|≤

9

8

(

x12

4

+y12)=

9

8

．
當且僅當

|x1|

2

=|y1|=

2

2

時等號成立．
∴△OMN面積的最大值為

9

8

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，主要考查了直線與橢圓的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據方程的根與系數的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力，是壓軸題．