Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[

1

8

，

1

2

]的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知條件條件推導(dǎo)出函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由f(

1

8

)=

1

8

ln

1

8

=

3

8

ln

1

2

，f（

1

2

）=

1

2

ln

1

2

，f（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

，能求出f（x）在區(qū)間[

1

8

，

1

2

]的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=xlnx，∴函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=lnx+1=0，得x=

1

e

，
令f′（x）＞0，得x＞

1

e

；令f′（x）＜0，得0＜x＜

1

e

．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

1

e

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

e

）．
（2）∵f(

1

8

)=

1

8

ln

1

8

=

3

8

ln

1

2

，
f（

1

2

）=

1

2

ln

1

2

，f（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

，
又

1

2

ln

1

2

＜

3

8

ln

1

2

，
∴f（x）在區(qū)間[

1

8

，

1

2

]的最大值為

3

8

ln

1

2

．最小值為-

1

e

．（12分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)的最大值和最小值的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．