Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=

ax

x2+1

+2a，g（x）=alnx-x+a．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：對于任意的x₁，x₂∈（0，e），都有f（x₁）＞g（x₂）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域、導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）只需證明f（x）_min＞g（x）_max，利用導(dǎo)數(shù)可求得f（x）_min；分a≥e、0＜a＜e兩種情況進行討論，利用導(dǎo)數(shù)可求得g（x）_max；

解答： （Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域為R，f′(x)=

a(1-x2)

(x2+1)2

=

a(1-x)(1+x)

(x2+1)2

，
∵a＞0，
∴當(dāng)x＜-1，或x＞1時，f′（x）＜0；當(dāng)-1＜x＜1時，f′（x）＞0．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）．
（Ⅱ）證明：f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞減，
又f（0）=2a，f(e)=

ea

e2+1

+2a＞2a，
∴當(dāng)x∈（0，e）時，f（x）＞2a．
由g（x）=alnx-x+a，可得g′(x)=

a

x

-1=

a-x

x

．
∴當(dāng)a≥e時，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（0，e）時，g（x）＜g（e）=2a-e＜2a．
∴當(dāng)x∈（0，e）時，
對于任意的x₁，x₂∈（0，e），都有f（x₁）＞2a，g（x₂）＜2a，∴f（x₁）＞g（x₂）．
當(dāng)0＜a＜e時，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，a）上是增函數(shù)，在區(qū)間（a，e）上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（0，e）時，g（x）≤g（a）=alna＜2a．
∴當(dāng)x∈（0，e）時，
對于任意的x₁，x₂∈（0，e），都有f（x₁）＞2a，g（x₂）＜2a，所以f（x₁）＞g（x₂）．
綜上，對于任意的x₁，x₂∈（0，e），都有f（x₁）＞g（x₂）． …（13分）

點評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．