Question

如圖，在側(cè)棱與底面垂直的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AB⊥BC，且A₁A=AB=BC=1，CD=2．
（1）求證：AB₁⊥平面A₁BC；
（2）在線段CD上是否存在點(diǎn)N，使得D₁N∥平面A₁BC？若存在，求出此時(shí)三棱錐N-AA₁C的體積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）易證明BC⊥AB₁，AB₁⊥A₁B，故AB₁⊥平面A₁BC；
（2）存在點(diǎn)N，取CD的中點(diǎn)N，易證平行四邊形ABCN為正方形和D₁N∥A₁B，D₁N∥平面A₁BC，求三棱錐的體積，求出底面的面積和高，利用三棱錐體積公式即可

解答： 解：（1）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁側(cè)棱與底面垂直，BC?底面ABCD，且A₁A=AB=BC=1
∴B₁B⊥BC，四邊形B₁BAA₁為正方形，
∴AB₁⊥A₁B，
∵AB⊥BC，AB∩B₁B=B，
∴BC⊥平面B₁BAA₁，
∵AB₁?平面B₁BAA₁，
∴BC⊥AB₁，
∵A₁B∩BC=B，
∴AB₁⊥平面A₁BC，
（2）存在點(diǎn)N，
取CD的中點(diǎn)N，連接AN，AD₁，D₁N，
∵CD=2，AB=1，
∴CN=

1

2

CD=1=AB，
又AB∥CD，
∴四邊形ABCN為平行四邊形
∵AB⊥BC，AB=BC=1，
∴平行四邊形ABCN為正方形，
∴AN∥BC，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁側(cè)棱與底面垂直，
∴平面B₁BAA₁∥平面CDD₁C₁，
∵D₁N?平面CDD₁C₁，A₁B?平面B₁BAA₁，
∴D₁N∥A₁B，
∵D₁N∩AN=N，D₁N，AN?平面AND₁，A₁B∩BC=B，A₁B，BC?平面A₁BC，
∴平面AND₁∥平面A₁BC，
∵D₁N?平面AND₁，
∴D₁N∥平面A₁BC，
在三棱錐N-AA₁C，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁側(cè)棱與底面垂直，
∴A₁A⊥平面ANC，
又平行四邊形ABCN為正方形，
∴S_△ACN=

1

2

×1×1=

1

2

，
∵A₁A=1，
∴V_N-AA1C=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，是一個(gè)非常適合作為高考題目出現(xiàn)的問題，題目包含的知識(shí)點(diǎn)比較全面，重點(diǎn)突出．