Question

10．如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）設(shè)M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC和AD⊥平面ABE證明AE⊥BC，再由BF⊥平面ACE得AE⊥BF，根據(jù)線面垂直的判定定理證出AE⊥平面BCE，即證出AE⊥BE；
（2）在△ABE中過M點(diǎn)作MG∥AE交BE于G點(diǎn)，在△BEC中過G點(diǎn)作GN∥BC交EC于N點(diǎn)，連MN，證明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，從而可得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴BF⊥AE，BF⊥CE，
∵EB=BC，∴F是CE的中點(diǎn)，
又∵AD⊥平面ABE，AD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ABE，
∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB
∴BC⊥平面ABE，
從而BC⊥AE，且BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，BE?平面BCE，
∴AE⊥BE；
（2）在△ABE中過M點(diǎn)作MG∥AE交BE于G點(diǎn)，
在△BEC中過G點(diǎn)作GN∥BC交EC于N點(diǎn)，連MN，
∴CN=$\frac{1}{3}$CE．
∵M(jìn)G∥AE，MG?平面ADE，AE?平面ADE，
∴MG∥平面ADE．
同理，GN∥平面ADE，且MG與GN交于G點(diǎn)，
∴平面MGN∥平面ADE．
又MN?平面MGN，
∴MN∥平面ADE．
故N點(diǎn)為線段CE上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題是關(guān)于線線、線面和面面垂直與平行的綜合題，利用垂直與平行的判定（性質(zhì)）定理，實(shí)現(xiàn)線線、線面和面面的相互轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．