Question

某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲利a元的前提下，可賣出b千克．若做廣告宣傳，廣告費為n千元時比廣告費為（n-1）千元時多賣出千克，（n∈N^*）．記廣告費為n千元時，賣出產(chǎn)品數(shù)量為S_n千克．
（1）求S₁，S₂；
（2）求S_n；
（3）當(dāng)a=50，b=200時廠家應(yīng)生產(chǎn)多少千克這種產(chǎn)品，做幾千元廣告，才能獲利最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)廣告費為1千元時，銷售量，     
（2）設(shè)s表示廣告費為0千元時的銷售量，即s=b，，…s_n-s_n-1=，疊加可求
（3）設(shè)獲利為T_n，則有T_n=as_n-1000n=50×=10000（2-）-1000n，欲使T_n最大，則，代入解不等式可求n
解答：解：（1）當(dāng)廣告費為1千元時，銷售量        （2分）
當(dāng)廣告費為2千元時，銷售量     （4分）
（2）設(shè)s表示廣告費為0千元時的銷售量，即s=b
由題意得

…
s_n-s_n-1=，（6分）
以上n個等式相加得 （7分）
即有==（9分）
（3）當(dāng)a=50，b=200時，設(shè)獲利為T_n，則有T_n=as_n-1000n=50×=10000（2-）-1000n（11分）
欲使T_n最大，則，
則
解可得，故n=3．（13分）
當(dāng)n=3時，s₃=375，即廠家應(yīng)生產(chǎn)350千克產(chǎn)品，做3千元的廣告，能獲利最大．（14分）
點評：本題主要考查了數(shù)列的疊加求解通項公式，利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（小）項，解題中要注意函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用．