Question

已知下列4個(gè)結(jié)論中其中正確的序號(hào)是 （　�。�

• A、已知cosα=

  1

  3

  ，cos（α+β）=1則cos（2α+β）的值為

  1

  3

• B、已知2^a=3^b=k（k≠1）且2a+b=ab，則實(shí)數(shù)k的值為36
• C、已知函數(shù)f(x)=

  x2-1，x≥0 -1，x＜0

  ，則滿足不等式f（2-x²）＞f（3x）的x的取值范圍是(-

  2

  ，

  -3+ 17

  2

  )
• D、已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，若關(guān)于x的不等式f（x²-ax+b）＜1的解集為{x|-3＜x＜2}，則a+b=-7

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：A．由cos（α+β）=1，可得sin（α+β）=0．再利用cos（2α+β）=cosαcos（α+β）-sinαsin（α+β）即可得出；
B．由2^a=3^b=k（k≠1），化為指數(shù)式并利用對(duì)數(shù)的換底公式可得a=

lgk

lg2

，b=

lgk

lg3

，代入2a+b=ab，化簡(jiǎn)整理即可得出；
C．函數(shù)f(x)=

x2-1，x≥0 -1，x＜0

，滿足不等式f（2-x²）＞f（3x），可得：

2-x2≥0 3x≥0 (2-x2)2-1＞(3x)2-1

或

2-x2≥0 3x＜0 (2-x2)2-1＞-1

解出即可；
D．利用已知可證明函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，再利用一元二次不等式的解集與相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)數(shù)根的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答： 解：A．∵cosα=

1

3

，cos（α+β）=1，∴sinα=±

2 2

3

，sin（α+β）=0．
∴cos（2α+β）=cosαcos（α+β）-sinαsin（α+β）=

1

3

，因此正確；
B．∵2^a=3^b=k（k≠1），∴a=

lgk

lg2

，b=

lgk

lg3

．
∵2a+b=ab，∴

2lgk

lg2

+

lgk

lg3

=

lgk

lg2

•

lgk

lg3

，∵k≠1，∴l(xiāng)gk≠0．
化為lg18=lgk，解得k=18，因此不正確；
C．∵函數(shù)f(x)=

x2-1，x≥0 -1，x＜0

，滿足不等式f（2-x²）＞f（3x），
∴

2-x2≥0 3x≥0 (2-x2)2-1＞(3x)2-1

或

2-x2≥0 3x＜0 (2-x2)2-1＞-1

解得

-3+ 17

2

＜x＜1或-

2

＜x＜0，
因此x的取值范圍是(-

2

，0)∪(

-3+ 17

2

，1)，可知C不正確；
D．∵函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，
令x=y=0，可得f（0）=2f（0）-1，解得f（0）=1．
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，得到f（x）+f（-x）=2．
設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1．
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-1=f（x₂）+2-f（x₁）-1＞1，
化為f（x₂）＞f（x₁），因此函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
由關(guān)于x的不等式f（x²-ax+b）＜1=f（0），可得x²-ax+b＜0，
其解集為{x|-3＜x＜2}，∴

-3+2=a -3×2=b

，解得a=-1，b=-6．
∴a+b=-7，因此正確．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)單調(diào)性質(zhì)、一元二次不等式的解集與相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)數(shù)根的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的互化、對(duì)數(shù)的換底公式、兩角和差的余弦公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分類討論的思想方法，屬于難題．