Question

①?φ∈R，函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=e^x+x²-2的零點(diǎn)有2個； 
③已知函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=log₂（x+1）的圖象關(guān)于直線x-y=0 對稱，則函數(shù)y=f（x）的解析式為y=2^x-1；
④?m∈R，使f(x)=(m-1)•xm2-4m+3是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上遞減；
上述命題中是真命題的有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①取特殊值，如φ=

π

2

，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式就可以驗(yàn)正；
②構(gòu)造我們熟悉的函數(shù)，將式子變行，構(gòu)造我們熟悉的函數(shù)，如y1=ex，y2=-x2+2，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)，就是原函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)；
③因?yàn)樵�函�?shù)與它的反函數(shù)的圖象是關(guān)于直線y=x對稱的，所以只要求出函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)就行；
④由冪函數(shù)的定義知，未知數(shù)x前的系數(shù)為1，求得m的值，代到解析式中，即可．

解答： 解：①取φ=

π

2

，則函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos（2x），是偶函數(shù)，①錯誤；
②令f（x）=e^x+x²-2=0，則e^x=-x²+2，令y1=ex，y2=-x2+2，由y₁，y₂的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，所以零點(diǎn)有2個，②正確； 
③在解析式y(tǒng)=log₂（x+1）中以x代替y，并以y代替x得，x=log₂（y+1）化簡得到，y=2^x-1，
∴函數(shù)y=log₂（x+1）的圖象關(guān)于直線x-y=0 對稱的函數(shù)y=f（x）的解析式為y=2^x-1，③正確；
④∵f（x）是冪函數(shù)，∴m-1=1，得m=2，∴f（x）=x^-1，在（0，+∞）上遞減，即?m=1，④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評：考查了函數(shù)的一些基本性質(zhì)，如命題存在時，用到三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式；函數(shù)的零點(diǎn)；原函數(shù)與它的反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，反函數(shù)解析式的求法；冪函數(shù)定義與單調(diào)性．所以在平時學(xué)習(xí)題，應(yīng)該撐基本初等函數(shù)的一些基本的性質(zhì)，是做這類題目的關(guān)鍵．