Question

若正數(shù)x，y滿足x+y=1，且

1

x

+

a

y

≥4對任意x，y∈（0，1）恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，4]
• B、[4，+∞）
• C、（0，1]
• D、[1，+∞）

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：正數(shù)x，y滿足x+y=1，且

1

x

+

a

y

≥4對任意x，y∈（0，1）恒成立?(

1

x

+

a

y

)min≥4對任意x，y∈（0，1），
利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：∵正數(shù)x，y滿足x+y=1，當a＞0時．
∴

1

x

+

a

y

=（x+y）(

1

x

+

a

y

)=1+a+

y

x

+

ax

y

≥1+a+2

y x • ax y

=1+a+2

a

，當且僅當y=

a

x時取等號．
∵

1

x

+

a

y

≥4對任意x，y∈（0，1）恒成立，
∴1+a+2

a

≥4，解得a≥1．
∴a的取值范圍是[1，+∞）．
故選：D．

點評：本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質、恒成立問題的等價轉化方法，屬于中檔題．