Question

【題目】已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個頂點(diǎn)構(gòu)成一個等邊三角形，直線與橢圓有且僅有一個交點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與軸交于，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)， ，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只要求出參數(shù)，由于有，因此要列出關(guān)于的兩個方程，而由條件兩焦點(diǎn)與短軸的一個頂點(diǎn)構(gòu)成一個等邊三角形得，再利用已知直線與橢圓只有一個公共點(diǎn)，即判別式為0可求得橢圓方程；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得，要求范圍只要求得的范圍，為此可直線分類，對斜率不存在時，求得，而當(dāng)直線斜率存在時，可設(shè)出直線方程為，同時設(shè)，則，由韋達(dá)定理可把表示為的函數(shù)，注意直線與橢圓相交，判別式＞0，確定的范圍，從而可得的范圍，最后可得的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）由題意，得，則橢圓為： ，

由，得 ，

直線與橢圓有且僅有一個交點(diǎn)，

，

橢圓的方程為 ；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 直線與軸交于 ,

,

當(dāng)直線與軸垂直時， ,

由 ,

當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為， ，

由 ，

依題意得， ，且 ，

，

，

，

綜上所述， 的取值范圍是 .