Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，BC=

1

2

AD=1，PD=CD=2，Q為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)M在棱PC上，設(shè)PM=tMC，是否存在實(shí)數(shù)t，使得PA∥平面BMQ，若存在，給出證明并求t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求三棱錐P-BMQ的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接AC交BQ于N，連接MN，證明MN∥PA，利用線面平行的判定定理，即可證明PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PA∥平面BMQ，所以，P到平面BMQ的距離等于A到平面BMQ的距離，利用V_P-BMQ=V_M-ABQ，即可求出三棱錐P-BMQ的體積．

解答： 解：（Ⅰ）存在t=1使得PA∥平面BMQ，理由如下：
連接AC交BQ于N，連接MN，
因?yàn)椤螦DC=90°，Q為AD的中點(diǎn)
所以N為AC的中點(diǎn)
當(dāng)M為棱PC的中點(diǎn)，即PM=MC時(shí)，MN為△PAC的中位線
故MN∥PA，
又MN?平面BMQ
所以PA∥平面BMQ
（（Ⅱ））由（Ⅰ）可知，PA∥平面BMQ
所以，P到平面BMQ的距離等于A到平面BMQ的距離
所以V_P-BMQ=V_M-ABQ．
取CD中點(diǎn)K，連接MK，所以MK∥PD且MK=

1

2

PD=1
又PA⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD
又BC=

1

2

AD=1，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2
所以V_P-BMQ=V_M-ABQ=

1

3

•

1

2

AQ•BQ•MK=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線和平面平行的判定，三棱錐的體積的計(jì)算，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理．