Question

如圖，A，B是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點，且|AB|=4，橢圓C的離心率為

1

2

，直線l：x=4．
（1）求橢圓方程；
（2）設M是橢圓C上異于A，B的一點，直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓記為E．
①若M恰好是橢圓C的上頂點，求E截直線PB所得的弦長；
②設E與直線MB交于點Q，試證明：直線PQ與x軸的交點R為定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得

2a=4 e= c a = 1 2

，由此能求出橢圓方程．
（2）①由條件易求直線AM的方程，從而可得P點體壇是而可求得圓E的方程，求出圓心到直線PB的距離，利用勾股定理即可求得弦長的一半．
②設M（x₀，y₀），可表示出AM的方程，進而表示出P的坐標，由MB⊥PR可求得直線PR的方程，令y=0即可得到點R的橫坐標，再根據(jù)點M在橢圓上即可求出x_R的值，從而證明結(jié)論．

解答： （1）解：∵A，B是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點，
且|AB|=4，橢圓C的離心率為

1

2

，
∴

2a=4 e= c a = 1 2

，解得a=2，c=1，∴b2=4-1=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）①∵M（0，

3

），∴直線AM的方程為y=

3

2

x+

3

，
則點P的坐標為P（4，3

3

），
∴⊙E的方程為(x-2)2+(y-2

3

)2=7，
其圓心為（2，2

3

），半徑為

7

，
又直線PB的方程為3

3

x-2y-6

3

=0，
∴圓心到直線PB的距離為

4 3

31

，
從而截直線PB所得的弦長為

7-( 4 3 31 )2

=

26 31

31

．
②證明：設M（x₀，y₀）（y₀≠0），則直線AM的方程為y=

y0

x0+2

（x+2），
P的坐標為P（4，

6y0

x0+2

），
又直線MB的斜率kMB=

y0

x0-2

，而MB為直徑，∴MB⊥PR，
∴kPR=-

x0-2

y0

，
從而直線PR的方程為y-

6y0

x0+2

=-

x0-2

y0

(x-4)，
令y=0，得點R的橫坐標為xR=4+

6y02

x02-4

，
又點M在橢圓上，∴

x02

4

+

y02

3

=1，
即y02=

3(4-x02)

4

，∴xR=4-6×

3

4

=-

1

2

，
∴直線PQ與x軸的交點R為定點，且該定點的坐標為（-

1

2

，0）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解及直線方程的求法，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力，結(jié)合性強，有一定難度．