Question

某商場為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)促銷活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則如下：顧客消費(fèi)額每滿100元就可抽一次獎(jiǎng)，例如：顧客消費(fèi)額為299元可抽兩次獎(jiǎng)，所得獎(jiǎng)金金額是兩次兩次抽獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金金額的和．顧客每抽一次獎(jiǎng)，得100元獎(jiǎng)金的概率為

1

10

，得50元獎(jiǎng)金的概率為

1

5

，得10元獎(jiǎng)金的概率為

7

10

．
（1）如果顧客恰好消費(fèi)了100元，并按規(guī)則參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求該顧客得到的獎(jiǎng)金金額不低于20元的概率；
（2）假設(shè)某位顧客消費(fèi)額為230元，并按規(guī)則參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)，所獲得的獎(jiǎng)金金額為X（元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)顧客抽獎(jiǎng)一次，獲得獎(jiǎng)金為100元、50元、10元分別為A，B，C，某位顧客恰好消費(fèi)了100元，根據(jù)規(guī)則該顧客可抽一次獎(jiǎng)，得到的獎(jiǎng)金金額不低于20元為事件“A∪B”，由此能求出該顧客得到的獎(jiǎng)金金額不低于20元的概率．
（Ⅱ）假設(shè)某位顧客消費(fèi)金額為230元，根據(jù)題意該顧客可抽獎(jiǎng)兩次，設(shè)所得的獎(jiǎng)金金額為X元，則X的可能取值為20，60，100，110，150，200，分別求出其概率，能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)顧客抽獎(jiǎng)一次，獲得獎(jiǎng)金為100元、50元、10元分別為A，B，C，
根據(jù)題意得P（A）=

1

10

，P（B）=

1

5

，P（C）=

7

10

，
若某位顧客恰好消費(fèi)了100元，根據(jù)規(guī)則該顧客可抽一次獎(jiǎng)，
得到的獎(jiǎng)金金額不低于20元為事件“A∪B”，
根據(jù)題意，P（A∪B）=P（A）+P（B）=

1

10

+

1

5

=

3

10

．
∴該顧客得到的獎(jiǎng)金金額不低于20元的概率為

3

10

．
（Ⅱ）假設(shè)某位顧客消費(fèi)金額為230元，根據(jù)題意該顧客可抽獎(jiǎng)兩次，
設(shè)所得的獎(jiǎng)金金額為X元，則X的可能取值為20，60，100，110，150，200，
根據(jù)題意：
P（X=20）=P（C）P（C）=

49

100

，
P（X=60）=2P（B）P（C）=

7

25

，
P（X=100）=P（B）P（B）=

1

25

，
P（X=110）=2P（A）P（C）=

7

50

，
P（X=150）=2P（A）P（B）=

1

25

，
P（X=200）=P（A）P（A）=

1

100

，
∴X的分布列為：

X	20	60	100	110	150	200
P	49 100	7 25	1 25	7 50	1 25	1 100

∴EX=20×

49

100

+60×

7

25

+100×

1

25

+110×

7

50

+150×

1

25

+200×

1

100

=54．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，在歷年高考中都是必考題型，是中檔題．