Question

6．已知函數(shù)f（x）=3x²-x+m，g（x）=lnx有公共切線，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，求得切線的斜率，運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，整理可得m的解析式，再由導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極小值，也為最小值，即可得到m的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=3x²-x+m的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=6x-1，
g（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1}{x}$，
設(shè)切線與f（x）和g（x）相切的切點(diǎn)分別為（a，b），（c，d），
則6a-1=$\frac{1}{c}$=$\frac{d-b}{c-a}$，b=3a²-a+m，d=lnc，
即有c=$\frac{1}{6a-1}$，（6a-1）（$\frac{1}{6a-1}$-a）=-ln（6a-1）-3a²+a-m，
則m=3a²-1-ln（6a-1），
m′=6a-$\frac{6}{6a-1}$=$\frac{6（2a-1）（3a+1）}{6a-1}$，
當(dāng)$\frac{1}{6}$＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，m′＜0，函數(shù)m遞減，當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，m′＞0，函數(shù)m遞增，
即有a=$\frac{1}{2}$時(shí)，m取得極小值，也為最小值，且為-$\frac{1}{4}$-ln2，
即有m≥-$\frac{1}{4}$-ln2，
則有m的取值范圍為[-$\frac{1}{4}$-ln2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，同時(shí)考查直線的斜率公式和構(gòu)造函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)，求得最小值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．