Question

10．若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），稱f（x）為“局部奇函數(shù)”，若f（x）=4^x-m2^x+1+m²-3為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是1-$\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}$．．

Answer 1

分析 根據(jù)“局部奇函數(shù)”，可知函數(shù)f（-x）=-f（x）有解即可，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法進行求解．

解答 解：根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義可知，函數(shù)f（-x）=-f（x）有解即可，
即f（-x）=4^-x-m2^-x+1+m²-3=-（4^x-m2^x+1+m²-3），
∴4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0，
即（2^x+2^-x）²-2m?（2^x+2^-x）+2m²-8=0有解即可．
設t=2^x+2^-x，則t=2^x+2^-x≥2，
∴方程等價為t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2時有解，
設g（t）=t²-2m?t+2m²-8，
對稱軸x=$-\frac{-2m}{2}=m$，
①若m≥2，則△=4m²-4（2m²-8）≥0，
即m²≤8，
∴-2$\sqrt{2}≤m≤2\sqrt{2}$，此時2$≤m≤2\sqrt{2}$，
②若m＜2，要使t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2時有解，
則$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{f（2）≤0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{1-\sqrt{3}≤m≤1+\sqrt{3}}\\{-2\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得1-$\sqrt{3}≤m＜2$，
綜上：1-$\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}$．
故答案為：1-$\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的新定義，利用函數(shù)的新定義得到方程有解的條件，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解的問題去解決是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．