Question

【題目】已知雙曲線的離心率為，過點(diǎn)A(0，－b)和B(a，0)的直線與原點(diǎn)的距離為.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)直線y＝kx＋m(k≠0, m≠0)與該雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)C，D，且C，D兩點(diǎn)都在以點(diǎn)A為圓心的同一圓上，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）利用橢圓的離心率e＝，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為，建立方程，求得幾何量，即可求得雙曲線方程；

（2）直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用C、D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一圓上，可設(shè)CD的中點(diǎn)為P，則AP⊥CD，結(jié)合直線垂直，即可求得m的取值范圍．

詳解：(1)－y2＝1.

(2)消去y得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，

由已知，1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0m2＋1＞3k2.①

設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中點(diǎn)P(x0，y0)，

則x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，

因?yàn)?/span>AP⊥CD，

所以kAP＝＝＝－，

整理得3k2＝4m＋1.②

聯(lián)立①②得m2－4m＞0，

所以m＜0或m＞4，又3k2＝4m＋1＞0，

所以m＞－，因此－＜m＜0或m＞4.

故m的取值范圍為∪(4，＋∞)．