Question

17．已知函數(shù)f（x）=cos²ωx-$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-$\frac{1}{2}$（0＜ω＜4），且f（$\frac{π}{3}$）=-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在（-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）內(nèi)，函數(shù)y=f（x）+m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=cos（2ωx+$\frac{π}{3}$），由f（$\frac{π}{3}$）=-1可得ω值，可得解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可作出函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）在（-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）的圖象，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得
f（x）=cos²ωx-$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$（1+cos2ωx）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx
=cos（2ωx+$\frac{π}{3}$），
由f（$\frac{π}{3}$）=cos（$\frac{2π}{3}$ω+$\frac{π}{3}$）=-1
可得$\frac{2π}{3}$ω+$\frac{π}{3}$=2kπ+π，
∴ω=3k+1，k∈Z，
∵0＜ω＜4，∴ω=1
∴f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可作出函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）在（-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）的圖象，
函數(shù)y=f（x）+m有兩個(gè)零點(diǎn)，只需f（x）圖象與y=-m圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖象可知-1＜-m＜$\frac{1}{2}$，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（-$\frac{1}{2}$，1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角恒等變換，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬中檔題．