Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數(shù)，a≠0，x∈R）．
（1）當函數(shù)f（x）的圖象過點（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一個根，求f（x）的表達式；
（2）當函數(shù)f（x）的圖象過點（-1，0），且函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，+∞）上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若F（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}}$，當mn＜0，m+n＞0，a＞0且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)時，試判斷F（m）+F（n）能否大于0？

Answer 1

分析 （1）把x=-1代入解析式列出一個方程，再由函數(shù)的值域和二次函數(shù)的性質得△=0得一個方程，聯(lián)立方程求解；
（2）由（1）和條件求出g（x）的解析式，再求出對稱軸，根據(jù)題意和和二次函數(shù)的單調性，列出不等式求解；
（3）由二次函數(shù)是偶函數(shù)的條件得b=0，代入F（x），再由條件判斷出n＜0＜m，表示出F（m）+F（n）化簡后判斷符號．

解答 解：（1）當函數(shù)f（x）的圖象過點（-1，0），則a-b+1=0，①
若方程f（x）=0有且只有一個根，
則判別式△=b²-4a=0，②
由①②得a=1，b=2，
則f（x）的表達式為f（x）=x²+2x+1；
（2）當函數(shù)f（x）的圖象過點（-1，0），則a-b+1=0，即b=a+1．
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，+∞）上單調遞增，
則a＞0且對稱軸-$\frac{2a}$≤-1，即b≥2a，
則a+1≥2a，得a≤1，
∵a＞0，∴0＜a≤1，
即實數(shù)a的取值范圍（0，1]；
（3）∵f（x）=ax²+bx+1為偶函數(shù)，
∴b=0，即f（x）=ax²+1（a＞0），
∴$F（x）=\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+1，（x＞0）\\-a{x^2}-1，（x＜0）.\end{array}\right.$
∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，
不妨設n＜0＜m，則有0＜-n＜m，
∴m-n＞0，m+n＞0．
∵F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m+n）（m-n），
∴F（m）+F（n）＞0．

點評 本題考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的單調性和奇偶性的綜合應用，考查學生的運算和推理能力，屬于中檔題．