【題目】已知圓A：（x+1）2+y2=8，動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，0），且與圓A相切，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線l與曲線C相切于點(diǎn)M，且l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，若 =λ ，且λ∈[ ，2]，求△OPQ面積S的取值范圍．

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，依題意，|MA|=2 ﹣r，|MB|=r，

∴|MA|+|MB|=2 ＞|AB|=2，

∴M點(diǎn)軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，即2a=2 ，a= ，2c=2，c=1，

則b2=a2﹣c2=1，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為： +y2=1．

（Ⅱ）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l：y=kx+b，

，化簡(jiǎn)得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，

∵l與橢圓C相切于點(diǎn)M，設(shè)M（x0，y0），

∴△=8（1+2k2﹣b2）=0，即b2=1+2k2，

且2x0=﹣ =﹣ ，解得：x0=﹣ ，y0=﹣ +b= ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣ ， ），

又l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，b），

∴△OPQ的面積S= |OP||OQ|= ，又b2=1+2k2，

∴S= =|k|+ ，

∴ =（ ﹣ ， ）， =（ ，b﹣ ），

由 =λ 得， =λ（b﹣ ），化簡(jiǎn)得λ= = ，

由λ∈[ ，2]，得k2∈[ ，1]，|k|∈[ ，1]，

又S=|k|+ ，且函數(shù)y=x+ 在[ ， ]上單調(diào)遞減，在[ ，1]上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)|k|= 時(shí)，S取得最小值 ，當(dāng)|k|= 或1時(shí)，S取得最大值 ，

∴△OPQ面積S的取值范圍是[ ， ]


【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意求得|MA|與|MB|的關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義可知?jiǎng)訄A圓心的軌跡為橢圓，并求得其軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，然后表示出點(diǎn)M，P，Q的坐標(biāo)，從而表示出三角形OPQ的面積，再結(jié)合求得直線斜率k的取值范圍，從而求得△OPQ面積S的取值范圍.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．

(1)當(dāng)q＝2，n＝3時(shí)，用列舉法表示集合A.

(2)設(shè)s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.證明：若an＜bn，則s＜t.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 的圖像如圖所示.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，弦PQ的中點(diǎn)為N，經(jīng)過(guò)點(diǎn)N作y軸的垂線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)T．

（Ⅰ）若直線l的斜率為1，且|PQ|=4，求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）證明：無(wú)論p為何值，以線段TN為直徑的圓總經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，直線.

（1）若圓的弦恰好被點(diǎn)平分，求弦所在直線的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，求四邊形的面積的最大值；

（3）若， 是上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為.證明：直線過(guò)定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′（x），對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x）=4x2﹣f（﹣x），當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f′（x）+ ＜4x，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A.[﹣ ，+∞）
B.[﹣ ，+∞）
C.[﹣1，+∞）
D.[﹣2，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓C： 的左右焦點(diǎn)分別是F1 ， F2 ， 離心率為 ，過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1 ， PF2 ， 設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF1 ， PF2的斜率分別為k1 ， k2 ， 若k≠0，試證明 為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（2）定義表示中較小者，設(shè)函數(shù) .

①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；

②若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知在 的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．
（Ⅰ）求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；
（Ⅱ）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．

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