【題目】橢圓C: 的左右焦點分別是F1 , F2 , 離心率為 ,過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點,連接PF1 , PF2 , 設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m,0),求m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,過點P作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有且只有一個公共點,設(shè)直線PF1 , PF2的斜率分別為k1 , k2 , 若k≠0,試證明 為定值,并求出這個定值.

【答案】
(1)解:把﹣c代入橢圓方程得 ,解得

∵過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1,∴

,聯(lián)立得 解得

∴橢圓C的方程為


(2)解:如圖所示,設(shè)|PF1|=t,|PF2|=n,

由角平分線的性質(zhì)可得 ,

又t+n=2a=4,消去t得到 ,化為

∵a﹣c<n<a+c,即 ,也即 ,解得

∴m的取值范圍;


(3)證明:設(shè)P(x0,y0),

不妨設(shè)y0>0,由橢圓方程 ,

,則 = ,

∴k= =

, ,

= ,

= =﹣8為定值.


【解析】(1)把﹣c代入橢圓方程并化簡,再結(jié)合“過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1”與離心率的值可列出方程組,解方程組即可求得橢圓的方程;(2)設(shè)|PF1|=t,|PF2|=n,利用角平分線的性質(zhì)表示出t于n的比值,再利用橢圓的性質(zhì)將t消去,再根據(jù)n的取值范圍求得m的取值范圍;(3)設(shè)出點P的坐標(biāo),橢圓方程變形為關(guān)于x的函數(shù),再利用導(dǎo)函數(shù)得到切線的斜率,即可得到k1,k2,代入即可證明.
【考點精析】掌握直線的斜率和橢圓的標(biāo)準方程是解答本題的根本,需要知道一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα;橢圓標(biāo)準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:

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A.16
B.12
C.10
D.8

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A.
B.
C.
D.

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A.
B.﹣
C.
D.

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