Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（1）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，且函數(shù)g（x）=

1

2

x2+nx+mf'（x）（m，n∈R） 當且僅當在x=1處取得極值，其中f′（x）為f（x）的導函數(shù)，求m
的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0），當a＞0時，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，故函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（0，1）單調減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，則f′（2）=1，即a=-2；  g（x）在x=1處有極值，故g′（1）=0，從而可得n=-1-2m，討論m的范圍得出即可；

解答： 解：（1）f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0），
當a＞0時，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，
故函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（0，1），單調減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
則f′（2）=1，即a=-2；                     
∴g（x）=

1

2

x²+nx+m（2-

2

x

），
∴g′（x）=x+n+

2m

x2

=

x3+nx2+2m

x2

∵g（x）在x=1處有極值，
故g′（1）=0，
從而可得n=-1-2m，
則g′（x）=

x3+nx2+2m

x2

=

(x-1)(x2-2mx-2m)

x2

又∵g（x）僅在x=1處有極值，
∴x²-2mx-2m≥0在（0，+∞）上恒成立，
當m＞0時，由-2m＜0，
即?x₀∈（0，+∞），
使得x02-2mx₀-2m＜0，
∴m＞0不成立，
故m≤0，
又m≤0且x∈（0，+∞）時，x²-2mx-2m≥0恒成立，
∴m≤0；

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，導數(shù)的應用，解不等式，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題，屬于中檔題．