如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=
π
4
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點
（1）證明：直線MN∥平面OCD；
（2）求0B與平面OCD所成角的正弦值．
考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定
專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角
分析：（1）取OB的中點E，連接ME，NE，由ME∥AB，AB∥CD，知ME∥CD，由此能夠證明MN∥平面OCD．
（2）求出B到平面OCD的距離，OB，即可求出0B與平面OCD所成角的正弦值．
解答： （1）證明：取OB的中點E，連接ME，NE，
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD，
∵NE∥OC，ME∩EN=E，OC∩CD=C，
∴平面MNE∥平面OCD，
∴MN∥平面OCD；
（2）解：先求出B點到平面OCD距離，即A點到平面OCD距離．
∵AB∥平面OCD，
∴點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP，過點A作AQ⊥OP于點Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，
∵OP=
OD2-DP2
=
3
2
2
，AD=DP=
2
2
，
∴AQ=
OA•AP
OP
=
2
3
，所以點B到平面OCD的距離為
2
3
．
∵OB=
5
，
∴0B與平面OCD所成角的正弦值為
2
5
15
．
點評：本題考查直線與平面平行的證明，求點到平面的距離，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間幾何問題為平面幾何問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．設其眾數(shù)為a，中位數(shù)為b，則a+b 的值為（　　）
A、33.5B、31.7
C、32D、33

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設全集U={1，2，3，4，5}，若∁UA={1，4}，B={1，2}，則∁U（A∪B）等于（　�。�
A、∅
B、{1，3，4，5}
C、{1，2，3，4，5}
D、{4}

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-（a+2）x+2a≤0}，若A∪B=A，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（1，3）和⊙O：x2+y2=3，過點P的直線L與⊙O相交于不同兩點A、B，在線段AB上取一點Q，滿足
AP
=-λ
PB
，
AQ
=λ
QB
（λ≠0且λ≠±1），求證：點Q總在某定直線上．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

二次函數(shù)y=x2-（m+2）x+4，根據(jù)下列條件分別求實數(shù)m的取值范圍．
（1）圖象在x軸上方；
（2）頂點在x軸上；
（3）圖象與x軸有兩個交點；
（4）圖象與x軸有公共點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C的圓心在直線3x-y=0上，且經(jīng)過點A（2，-3）、B（-1，0）．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C被直線l：y=kx截得的弦長為2
7
，求k的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R
（1）求函數(shù)g（x）=f（x）-x的極值；
（2）若x∈R時，f（x）≥ax+1恒成立，求實數(shù)a的值；
（3）當a＞1時，求證：F（x）=f（x）-ax-1在區(qū)間（lna，2lna）上有且僅有一個零點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x=1是函數(shù)f（x）=
1
3
ax3-
3
2
x2+（a+1）x+5的一個極值點．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若曲線y=f（x）與直線y=2x-2m+1有三個交點，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案