Question

8．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在一點P，使得∠F₁PF₂=60°，則橢圓離心率e的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}]$
• B． $[\frac{1}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{4}]$
• D． （0，$\frac{1}{3}]$

Answer 1

分析 當(dāng)動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運(yùn)動時，P對兩個焦點的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點位于短軸端點P₀處時，張角∠F₁PF₂達(dá)到最大值，由此可得結(jié)論．

解答 解：如圖，當(dāng)動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運(yùn)動時，P對兩個焦點的張角∠F₁PF₂漸漸增大，
當(dāng)且僅當(dāng)P點位于短軸端點P₀處時，張角∠F₁PF₂達(dá)到最大值．由此可得：

∵存在點P為橢圓上一點，使得∠F₁PF₂=60°，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥60°，
∴Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，
所以P₀O≤$\sqrt{3}$OF₂，即b≤$\sqrt{3}$c，
∴a²-c²≤3c²，可得a²≤4c²，
∴$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴$\frac{1}{2}$≤e＜1．
故橢圓離心率e的取值范圍為$[\frac{1}{2}$，1）
故選：B

點評 本題考查了直角三角形的三角函數(shù)和橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識點，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．