13.已知函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$sin(x+$\frac{φ}{2}$)cos(x+$\frac{φ}{2}$)+sin2(x+$\frac{φ}{2}$)(0<φ<$\frac{π}{2}$)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)($\frac{π}{3}$,1)
(1)求f(x).
(2)在△ABC中,A、B、C的對(duì)邊為a、b、c,a=$\sqrt{5}$,S△ABC=2$\sqrt{5}$,角C為銳角且f($\frac{C}{2}$-$\frac{π}{12}$)=$\frac{7}{6}$,求c邊長(zhǎng).

分析 (1)運(yùn)用二倍角的正弦和余弦公式,結(jié)合兩角和差的正弦公式,化簡(jiǎn)即可得到f(x)的解析式;
(2)由同角的平方關(guān)系和三角形的面積公式,結(jié)合余弦定理,即可求得c.

解答 解:(1)∵f(x)=$\sqrt{3}$sin(x+$\frac{ϕ}{2}$)cos(x+$\frac{ϕ}{2}$)+sin2(x+$\frac{ϕ}{2}$)
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin(2x+φ)+$\frac{1-cos(2x+ϕ)}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin(2x+φ)-$\frac{1}{2}$cos(2x+φ)+$\frac{1}{2}$=sin(2x+φ-$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,
∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)($\frac{π}{3}$,1),
∴sin(2•$\frac{π}{3}$+φ-$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$=1,即sin($\frac{π}{2}$+φ)=$\frac{1}{2}$,即cosφ=$\frac{1}{2}$,
∵0<φ<$\frac{π}{2}$,∴φ=$\frac{π}{3}$
∴f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$;
(2)∵f($\frac{C}{2}$-$\frac{π}{12}$)=sinC+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{6}$,∴sinC=$\frac{2}{3}$
∴cosC=$\sqrt{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$,
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•b•$\frac{2}{3}$=2$\sqrt{5}$,∴b=6,
∴c2=a2+b2-2abcosC=5+36-2•$\sqrt{5}$•6•$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$=21
∴c=$\sqrt{21}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的求值和化簡(jiǎn),同時(shí)考查二倍角公式和兩角和的正弦公式及同角的平方關(guān)系的運(yùn)用,以及余弦定理和面積公式的運(yùn)用,屬于中檔題.

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