Question

13．已知n∈N^*，在坐標(biāo)平面中有斜率為n的直線l_n與圓x²+y²=n²相切，且l_n交y軸的正半軸于點(diǎn)P_n，交x軸于點(diǎn)Q_n，則$\lim_{x→∞}\frac{{|{{P_n}{Q_n}}|}}{{2{n^2}}}$的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)切線l_n的方程為：y=nx+m，由于直線l_n與圓x²+y²=n²相切，可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{n}^{2}}}$=n，取m=n$\sqrt{1+{n}^{2}}$．可得切線l_n的方程為：y=nx+n$\sqrt{1+{n}^{2}}$，可得P_n，Q_n，可得|P_nQ_n|．再利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則即可得出．

解答 解：設(shè)切線l_n的方程為：y=nx+m，
∵直線l_n與圓x²+y²=n²相切，
∴$\frac{|m|}{\sqrt{1+{n}^{2}}}$=n，取m=n$\sqrt{1+{n}^{2}}$．
∴切線l_n的方程為：y=nx+n$\sqrt{1+{n}^{2}}$，
∴P_n$（0，n\sqrt{1+{n}^{2}}）$，Q_n$（-\sqrt{1+{n}^{2}}，0）$．
∴|P_nQ_n|=$\sqrt{1+{n}^{2}+{n}^{2}（1+{n}^{2}）}$=1+n²．
∴$\lim_{x→∞}\frac{{|{{P_n}{Q_n}}|}}{{2{n^2}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1+{n}^{2}}{2{n}^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{\frac{1}{{n}^{2}}+1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的方程、直線與圓的相切性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)之間的距離公式，數(shù)列極限的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．