Question

20．已知定義在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的函數(shù)f（x）=1n$\frac{x+1}{x-1}$．
（1）試判斷f（x）的奇偶性；
（2）若函數(shù)在（1，4）上為增函數(shù)，解關(guān)于t的不等式f（t）+f（t-6）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=1n$\frac{x+1}{x-1}$，得到f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數(shù)．
（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及定義域，可解不等式．

解答 解：（1）∵f（x）=1n$\frac{x+1}{x-1}$．
∴f（-x）=ln$\frac{x-1}{x+1}$=1n（$\frac{x+1}{x-1}$）^-1=-1n$\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)．
（2）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴不等式f（t）+f（t-6）＜0．等價(jià)為f（t）＜-f（t-6）=f（6-t）．
∵函數(shù)在（1，4）上為增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}1＜t＜4\\ 1＜6-t＜4\\ t＜6-t\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1＜t＜4\\ 2＜t＜5\\ t＜3\end{array}\right.$，
解得：t∈（2，3）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．