【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓：，，，為平面內(nèi)一動點，若以線段為直徑的圓與圓相切．

（1）證明為定值，并寫出點的軌跡方程；

（2）設(shè)點的軌跡為曲線，直線過交于，兩點，過且與垂直的直線與交于，兩點，求四邊形面積的取值范圍．

【答案】(1)證明見解析，軌跡方程為．(2).

【解析】分析：第一問結(jié)合題中條件畫出相應(yīng)的圖形，連接相關(guān)線段，利用中位線的長度以及兩圓內(nèi)切時對應(yīng)兩圓心之間的距離與半徑的關(guān)系，求得，從而得到其為定值，之后借助于其范圍，利用橢圓的定義，求得其軌跡方程；第二問分直線的斜率不存在、為零、存在且不為零三種情況來分析對應(yīng)的四邊形的面積，從而求得其范圍.

詳解：（1）設(shè)的中點為，連接，，

在中，，分別為，的中點，所以，

又圓與動圓相切，則，所以，即為定值，

，

所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，

設(shè)橢圓方程為，則，，，

所以點的軌跡方程為．

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，不妨設(shè)，，，，則，，四邊形面積；

②當(dāng)直線的斜率為0時，同理可得四邊形面積；

③當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，

可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，

聯(lián)立得，

，，

，

同理，

四邊形面積，設(shè)，

則，

所以；

綜上所述，四邊形面積的取值范圍是．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點，直線：，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且滿足．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點作直線與軌跡交于，兩點，為直線上一點，且滿足，若的面積為，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為實數(shù)．

（1）若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．

（2）若，滿足不等式成立的正整數(shù)解有且僅有一個，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正項數(shù)列的前項和為，且，等比數(shù)列的首項為1，公比為（），且，，成等差數(shù)列．

（1）求的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實數(shù)滿足，則a的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知海島在海島北偏東，，相距海里，物體甲從海島以海里/小時的速度沿直線向海島移動，同時物體乙從海島沿著海島北偏西方向以海里/小時的速度移動．

（1）問經(jīng)過多長時間，物體甲在物體乙的正東方向；

（2）求甲從海島到達(dá)海島的過程中，甲、乙兩物體的最短距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]D，同時滿足：

①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；

②當(dāng)定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．

（1）證明：[0，1]是函數(shù)y=f（x）=x2的一個“和諧區(qū)間”．

（2）求證：函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（3）已知：函數(shù)（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當(dāng)a變化時，求出n﹣m的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年4月4日召開的國務(wù)院常務(wù)會議明確將進(jìn)一步推動網(wǎng)絡(luò)提速降費工作落實，推動我國數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展和信息消費，今年移動流量資費將再降30%以上，為響應(yīng)國家政策，某通訊商計劃推出兩款優(yōu)惠流量套餐，詳情如下：

套餐名稱

月套餐費/元

月套餐流量/M

A

30

3000

B

50

6000

這兩款套餐均有以下附加條款：套餐費用月初一次性收取，手機(jī)使用流量一旦超出套餐流量，系統(tǒng)就會自動幫用戶充值2000M流量，資費20元；如果又超出充值流量，系統(tǒng)再次自動幫用戶充值2000M流量，資費20元，以此類推。此外，若當(dāng)月流量有剩余，系統(tǒng)將自動清零，不可次月使用。

小張過去50個月的手機(jī)月使用流量（單位：M）的頻數(shù)分布表如下：

月使用流量分組

[2000,3000]

(3000,4000]

(4000,5000]

(5000,6000]

(6000,7000]

(7000,8000]

頻數(shù)

4

5

11

16

12

2

根據(jù)小張過去50個月的手機(jī)月使用流量情況，回答以下幾個問題：

（1）若小張選擇A套餐，將以上頻率作為概率，求小張在某一個月流量費用超過50元的概率.

（2）小張擬從A或B套餐中選定一款，若以月平均費用作為決策依據(jù)，他應(yīng)訂購哪一種套餐？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最值；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．

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