Question

【題目】已知函數(shù)（，）的周期為，圖像的一個對稱中心為，將函數(shù)圖像上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），在將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像．

（1）求函數(shù)與的解析式；

（2）是否存在，使得，，按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定的個數(shù)；若不存在，說明理由．

（3）求實數(shù)a與正整數(shù)n，使得在內(nèi)恰有2013個零點．

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在唯一的（3），

【解析】

(1)根據(jù)已知的周期可以得到，再根據(jù)函數(shù)的對稱中心建立一個方程求得

(2)根據(jù)等差數(shù)列的條件，將問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的取值范圍問題，采用求導(dǎo)方法確定最值，從而判斷是否存在滿足條件的及存在的個數(shù).

(3)由于是關(guān)于，的函數(shù)，所以它也是一個周期函數(shù)，所以可以考慮在一個周期內(nèi)的取值情況，這個問題采用換元法簡化計算，令，從而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次函數(shù)，求解在一個范圍內(nèi)的的取值范圍，然后判斷存在的零點個數(shù)，最后根據(jù)的周期性可得在整個區(qū)間范圍內(nèi)存在的總零點個數(shù).

（1）函數(shù)（，）的周期為，可得，

又由該圖像的一個對稱中心為，故，得，所以，

，將函數(shù)圖像上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）后，得到的圖像，再將的圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)，故函數(shù)；

（2）當時，，，所以，問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解，即在內(nèi)是否有解，記，，因為在上大于0，所以，在遞增，又因為，，且函數(shù)的圖像連續(xù)不斷，所以存在唯一的滿足題意；

（3）令，現(xiàn)討論函數(shù)在上零點的情況，設(shè)，，則函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線，又，，.

當時，函數(shù)有一個零點(另一個零點，舍去)，在上有兩個零點，，且；

當時，函數(shù)有一個零點(另一個零點，舍去)，在上有兩個零點，，且；

當時，函數(shù)有一個零點，另一個零點，在和內(nèi)分別有兩個零點

由正弦函數(shù)的周期性可知，當時，函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)總為偶數(shù)，從而不存在正整數(shù)滿足題意.

當時，函數(shù)有一個零點，另一個零點；

當時，函數(shù)有一個零點，另一個零點；

從而當或時，函數(shù)在有三個零點，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，，所以，依題意得，

綜上，當時，或時，時，函數(shù)在內(nèi)恰有2013個零點