Question

9．已知函數(shù)f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$-1（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值，并分別寫出相應的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用和角公式及降次公式對f（x）進行化簡，得到f（x）=Asin（ωx+φ）形式，代入周期公式即可；
（2）由x的范圍求出ωx+φ的范圍，結合正弦函數(shù)單調性得出最值和相應的x．

解答 解：（1）f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$-1
=cosx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$-1
=$\frac{1}{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$-1
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{1+cos2x}{2}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$-1
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x-1
=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，即x=$\frac{π}{4}$時，f_max（x）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-1$=-$\frac{3}{4}$；
當2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{12}$時，f_min（x）=$\frac{1}{2}×（-1）-1$=-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換及性質，對二次項進行降次及和差公式運用是常用方法．