Question

在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，點A、C的坐標分別為（-3，0），（0，3），對稱軸直線x=-1交x軸于點E，點D為頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線AC下方的拋物線上一點，且S_△PAC=2S_△DAC，求點P的坐標；
（3）點M是第一象限內(nèi)拋物線上一點，且∠MAC=∠ADE，求點M的坐標．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由已知中點A、C的坐標分別為（-3，0），（0，3），對稱軸為直線x=-1，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程組，解方程組求出a，b，c的值，可得拋物線的解析式；
（2）由已知中AC坐標，可求出線段AC的長，及D到AC的距離，進而根據(jù)S_△PAC=2S_△DAC，求出P點到AC的距離，代入點到直線距離公式，可得點P的坐標；
（3）過點C作CH⊥DE交DE于點H，設AC交對稱軸于點G，AM交y軸于點N，由∠MAC=∠ADE，可得N點坐標，進而求出CN的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程可得M點坐標．

解答： 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、點，與y軸交于點C，點A、C的坐標分別為（-3，0），（0，3），拋物線的對稱軸為直線x=-1，
故

c=3 9a-3b+c=0 - b 2a =-1

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

，
∴y=-x²-2x+3；
（2）由點A、C的坐標分別為（-3，0），（0，3）可得直線AC的方程為x-y+3=0，AC=3

2

，
由y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4可得：D點坐標為（-1，4），
故D到直線AC的距離為：

|-1-4+3|

2

=

2

，
故S_△PAC=2S_△DAC=6，
則P到直線AC的距離為2

2

，
設P點坐標為（a，-a²-2a+3），
則

|a+a2+2a-3+3|

2

=2

2

，
即a²+3a-4=0，解得a=-4，或a=1，
故P點坐標為（-4，-5）或（1，0）；
（3）D（-1，4），C（0，3），E（-1，0），
過點C作CH⊥DE交DE于點H，
∴H（-1，3），CH=DH=1，∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°，
∴CD=

2

，AC=3

2

，△ACD為直角三角形，且tan∠DAC=

1

3

．
設AC交對稱軸于點G，AM交y軸于點N，
∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°，∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°，∠ADE=∠CAM，∠DAC=∠MAO，
∴tan∠MAO=

1

3

．
∵A（-3，0），
∴ON=1，即N（0，1）．
∴直線NA解析式為y=

1

3

x+1，
聯(lián)立方程

y= 1 3 x+1 y=-x2-2x+3

得：x=-3（舍），或x=

2

3

，
∴點M的坐標為（

2

3

，

11

9

）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點到直線的距離，是二次函數(shù)與解析幾何知道的綜合應用，難度較大．