Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-mx+m，m∈R．
（1）已知函數(shù)f（x）在點（l，f（1））處與x軸相切，求實數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）在（1）的結論下，對于任意的0＜a＜b，證明：

f(b)-f(a)

b-a

＜

1

a

-1．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由函數(shù)f（x）在點（l，f（1））處與x軸相切，可得f′（1）=0，從而求得m的值；
（2）由（1）中求得的函數(shù)f（x）的導函數(shù)，對m進行分類，m≤0時，有f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞增；m＞0時，由導函數(shù)大于0和小于0分別求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（3）把（1）中求出的m值代入函數(shù)解析式，把

f(b)-f(a)

b-a

＜

1

a

-1轉(zhuǎn)化為

ln b a

b a -1

＜1，令

b

a

=t后轉(zhuǎn)化為lnt-t+1＜0，t＞1，即f（t）＜0，t＞1．由（2）中的函數(shù)的單調(diào)性得到證明．

解答： （1）解：由f（x）=lnx-mx+m，得f′(x)=

1

x

-m (x＞0)．
∵f（x）在點（l，f（1））處與x軸相切，
∴f′（1）=1-m=0，即m=1；
（2）解：∵f′(x)=

1

x

-m (x＞0)．
當m≤0時，f′(x)=

1

x

-m＞0，知函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞增；
當m＞0時，f′(x)=

-m(x- 1 m )

x

，由f′（x）＞0，得x∈(0，

1

m

)，
由f′（x）＞0，得x∈(

1

m

，+∞)．
即函數(shù)f（x）在(0，

1

m

)上遞增，在(

1

m

，+∞)上遞減；
（3）證明：由（1）知m=1，得f（x）=lnx-x+1，
對于任意的0＜a＜b，

f(b)-f(a)

b-a

＜

1

a

-1可化為

(lnb-b)-(lna-a)

b-a

＜

1

a

-1，其中0＜a＜b，
?

ln b a

b a -1

＜1，其中0＜a＜b，
?

lnt

t-1

＜1，t＞1?lnt-t+1＜0，t＞1，即f（t）＜0，t＞1．
由（2）知，函數(shù)f（x）在（1，+∞）遞減，且f（1）=0，于是上式成立．
故對于任意的0＜a＜b，

f(b)-f(a)

b-a

＜

1

a

-1成立．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，重點體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，對于（3）的證明，運用了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法和換元法，是高考試卷中的壓軸題．