Question

11．在（x²+x+1）⁵的展開式中，x⁵的系數(shù)是51．

Answer 1

分析 先求得[（x²+x）+1）]⁵的展開式的通項(xiàng)公式，再求出（x²+x）^5-r 的展開式的通項(xiàng)公式，可得x⁵的系數(shù)．

解答 解：（x²+x+1）⁵=[（x²+x）+1）]⁵的展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（x²+x）^5-r，r=0，1，2，3，4，5，
而（x²+x）^5-r 的展開式的通項(xiàng)公式為 T_r′+1=${C}_{5-r}^{r′}$•（x²）^5-r-r′•x^r′=${C}_{5-r}^{r′}$•x^10-2r-r′，
0≤r′≤5-r，故有$\left\{\begin{array}{l}{r=0}\\{r′=5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=1}\\{r′=3}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{r=2}\\{r′=1}\end{array}\right.$．
故 x⁵的系數(shù)為 ${C}_{5}^{0}$•${C}_{5}^{5}$+${C}_{5}^{1}$•${C}_{4}^{3}$+${C}_{5}^{2}$•${C}_{3}^{1}$=1+20+30=51，
故答案為：51．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．