Question

7．已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求數列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用S_n+1-S_n可知a_n+1=2（n+1）-1，進而可得結論；
（2）通過（1）可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用錯位相減法計算即得結論．

解答 解：（1）∵S_n=n²，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²-n²=2（n+1）-1，
又∵a₁=S₁=1滿足上式，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2n-1；
（2）由（1）可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{{2}^{1}}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{1}}$+2[$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$]-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=-$\frac{n}{{2}^{n}}$-$\frac{3}{{2}^{n+1}}$+$\frac{3}{2}$，
∴T_n=2（-$\frac{n}{{2}^{n}}$-$\frac{3}{{2}^{n+1}}$+$\frac{3}{2}$）=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．