Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式-m²+（k+2）m-

3

2

＜f（x）＜m²+2km+k+

5

2

對一切實數(shù)x及m恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）定義：若存在一個非零常數(shù)T，使得f（x+T）=f（x）對定義域中的任何實數(shù)x都恒成立，那么，我們把f（x）叫以T為周期的周期函數(shù)，它特別有性質(zhì)：對定義域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函數(shù)g（x）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，切當x∈（-1，1）時，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由題意，函數(shù)在R上是奇函數(shù)，由于其在原點有定義故一定有f（0）=0，再結合f（-1）=-f（1），由此兩方程即可求出a、b的值；
（2）本小題的不等式恒成立，故可由（1）解出的函數(shù)解析式求出函數(shù)的最值，將恒成立的不等式-m²+（k+2）m-

3

2

＜f（x）＜m²+2km+k+

5

2

對一切實數(shù)x及m恒成立成立，再由二次函數(shù)的性質(zhì)研究此不等式組，解出參數(shù)K的取值范圍；
（3）由題設條件函數(shù)是周期為2的奇函數(shù)，故可先研究其一個周期上的零點，再由周期性得出所有的零點，由于函數(shù)是奇函數(shù)易得f（0）=0，再由周期性的性質(zhì)與奇函數(shù)的性質(zhì)可得出

f(-1)=f(1) f(1)=-f(1)

由此解得f（-1）=f（1）=0，由此知一個周期上的零點，再由周期性得出結論

解答： 解：（1）∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

．
∴f（0）=0，
即-1+b=0，b=1
∵f（x）=

-2x+1

2•2x+a

，f（-x）=-f（x），
∴

-2-x+1

2•2-x+a

=-

-2x+1

2•2x+a

2x-1

2+a•2x

=

2x-1

2•2x+2

即a=2
故a=2，b=1
（2）f（x）=

1-2x

2•2x+2

，=

1

2

×（

1-2x

1+2x

）
值域為：（-

1

2

，

1

2

）
∵不等式-m²+（k+2）m-

3

2

＜f（x）＜m²+2km+k+

5

2

對一切實數(shù)x及m恒成立，
則需且只需

-m2+(k+2)m- 3 2 ≤- 1 2 m2+2km+k+ 5 2 ≥ 1 2

m∈R恒成立
即

m2-(k+2)m+1≥0 m2+2km+k+2≥0

對 m∈R恒成立
只需

△1=(k+2)2-4≤0 △2=(2k)2-4(k+2)≤0

解得-1≤k≤0，
（3）當x∈（-1，1）時g（x）=f（x）-x=-

1

2

+

1

2x+1

-x
顯然 y=

1

2x+1

，y=-x均為減函數(shù)，故g（x）在（-1，1）上為減函數(shù)，
由于g（0）=0，故在（-1，1）內(nèi)g（x）=0有唯一根x=0
由于g（x）周期為2，由此有x∈（2k-1，2k+1）內(nèi)有唯 一根x=2k（k∈N）①
綜合得x=2k（k∈N）為g（x）=0的根
又因為g（-1）=g（-1+2）=g（1）得-g（1）=g（1）
故g（1）=0，因此得g（2k+1）=0（k∈N）②
綜合①②有g（x）=0的所有解為一切整數(shù)

點評：本題考查函數(shù)恒成立的問題，函數(shù)恒成立的問題由于其抽象，推理難度大，方法不易得出而使得解此類題比較困難，解此類題，理解題意，對題設中所給的恒成立的關系進行準確轉化是解題的關鍵，對探究意識要求較高，此類題思維難度過大．，屬于難題．