Question

10．已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象過點P（1，$\frac{4}{3}$），且在點P處的切線斜率是3，求a，b的值；
（2）若x=-1是函數(shù)f（x）的極大值點，且x∈[-1，2]時，f（x）的最小值為-$\frac{2}{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)，由題意可得f（1）=$\frac{4}{3}$，f′（1）=3，解方程可得a，b；
（2）求出導數(shù)，運用韋達定理得另一極值點，得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，對a討論，①當1-2a≥2，②當1-2a＜2
求得最小值的情況，解方程即可得到a的值．

解答 解：（1）f′（x）=x²+2ax+b，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}+a+b=\frac{4}{3}}\\{1+2a+b=3}\end{array}\right.$，
解得，a=1，b=0；       
（2）f′（x）=x²+2ax+b，
由題知f′（-1）=0，即有b=2a-1，
由韋達定理得另一極值點為x=-b=1-2a，
故1-2a＞-1，解得a＜1．
f（x）在（-∞，-1）內(nèi)遞增，在（-1，1-2a）內(nèi)遞減，
在（1-2a，+∞）內(nèi)遞增，
①當1-2a≥2，即a≤-$\frac{1}{2}$時，f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（2）=8a+$\frac{2}{3}$=-$\frac{2}{3}$，得a=-$\frac{1}{6}$，舍去．   
②當1-2a＜2，即-$\frac{1}{2}$＜a＜1時，
f（x）_min=f（1-2a）=$\frac{1}{3}$（1-2a）³+a（1-2a）²-（1-2a）²=$\frac{1}{3}$（1-2a）²（a-2）=-$\frac{2}{3}$，
得a（2a-3）²=0，
∴a=0或a=$\frac{3}{2}$（舍去）         
綜上，a=0．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用和分類討論的思想方法，屬于中檔題和易錯題．