Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且過點（0，-1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（其中O為坐標原點），求整數(shù)t的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由離心率為

2

2

，可得a²=2b²，代入點（0，-1），可求解a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設出直線方程，和橢圓聯(lián)立后化為關于x的一元二次方程，由判別式大于0求出k的范圍，利用根與系數(shù)關系得到A，B兩點的橫坐標的和與積，代入

OA

+

OB

=t

OP

后得到P點的坐標，把P點坐標代入橢圓方程后得到t與k的關系，由k的范圍確定t的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題知離心率為

2

2

，所以

a2-b2

a2

=

1

2

．即a²=2b²．
又因為過點（0，-1），所以b²=1，a²=2．
故C的方程為

x2

2

+y2=1…（3分）
（Ⅱ）由題意知直線直線AB的斜率存在．
設AB方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由y=k（x-2）代入

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
△=64k²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，
∴k²＜

1

2

．  …（5分）
x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

∵

OA

+

OB

=t

OP

，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）．
∴x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

-4k

t(1+2k2)

．…（8分）
∵點P在橢圓上，∴

64k4

t2(1+2k2)2

+2•

16k2

t2(1+2k2)2

=2，
∴16k²=t²（1+2k²），
∴t²=

16

1 k2 +2

＜

16

2+2

=4，
∴-2＜t＜2．
∴t的最大整數(shù)值為1．…（12分）

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了平面向量的坐標運算，訓練了利用代入法求解變量的取值范圍．屬中檔題．