【題目】在直四棱柱中，底面是菱形，，，、分別是線段、的中點.

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，交于點，利用菱形對角線的性質(zhì)得出，由直棱柱的性質(zhì)得出平面，可得出，由直線與平面垂直的判定定理可證明出平面，由此可證明出；

（2）以為坐標原點，，分別為，軸，過點垂直于平面的直線為軸，建立如圖的空間直角坐標系，然后利用空間向量法計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（1）連接，交于點.

因為四邊形是菱形，所以.

因為四棱柱是直四棱柱，所以平面.

因為平面，所以.

因為，所以平面.

因為平面，所以；

（2）由（1）知，以為坐標原點，，分別為，軸，過點垂直于平面的直線為軸，建立如圖的空間直角坐標系.

因為，所以，因為底面四邊形為菱形，且，

所以，，又因為、分別是線段、的中點，

所以，，，

所以，.

設平面的一個法向量為，則.

令，得.

易知為平面的一個法向量.

設平面與平面所成的銳二面角為，

所以，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】如圖為我國數(shù)學家趙爽約3世紀初在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域涂色不相同的概率為　　

A. B. C. D.

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組號

分組

頻數(shù)

1

[0，2）

6

2

[2，4）

8

3

[4，6）

17

4

[6，8）

22

5

[8，10）

25

6

[10，12）

12

7

[12，14）

6

8

[14，16）

2

9

[16，18）

2

合計

100

（1）從該校隨機選取一名學生，試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的頻率；

（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值．

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【題目】謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle）是一種分形幾何圖形，由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基在1915年提出，它是一個自相似的例子，其構(gòu)造方法是：

（1）取一個實心的等邊三角形（圖1）；

（2）沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形；

（3）挖去中間的那一個小三角形（圖2）；

（4）對其余三個小三角形重復（1）（2）（3）（4）（圖3）.

制作出來的圖形如圖4，….

若圖1（陰影部分）的面積為1，則圖4（陰影部分）的面積為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】在直角坐標系中，已知橢圓：的離心率是，斜率不為0的直線：與相交于、兩點，與軸相交于點.

（1）若、分別是的左、右焦點，當經(jīng)過且時，求的值；

（2）試探究，是否存在點，使得？若存在，請寫出滿足條件的、的關(guān)系式；若不存在，說明理由.

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【題目】至年底，我國發(fā)明專利申請量已經(jīng)連續(xù)年位居世界首位，下表是我國年至年發(fā)明專利申請量以及相關(guān)數(shù)據(jù).

注：年份代碼～分別表示～.

（1）可以看出申請量每年都在增加，請問這幾年中哪一年的增長率達到最高，最高是多少？

（2）建立關(guān)于的回歸直線方程（精確到），并預測我國發(fā)明專利申請量突破萬件的年份.

參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，

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A.R＝6，ω＝，φ＝－

B.當t∈[35,55]時，點P到x軸的距離的最大值為6

C.當t∈[10,25]時，函數(shù)y＝f(t)單調(diào)遞減

D.當t＝20時，|PA|＝6

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