Question

已知△ABC的內(nèi)角A，滿足coa2A-

2

cosA+1≤0．
（1）求A的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（A）=λ（sinA+cosA）+sinAcosA的最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）△ABC中，由條件求得 0≤cosA≤

2

2

，可得A的范圍．
（2）設(shè)sinA+cosA=t，則 sinAcosA=

t2-1

2

，所以原函數(shù)化為y=

t2

2

+λt-

1

2

，它的對稱軸t=-λ．再根據(jù)t的范圍（用區(qū)間表示），分類討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）△ABC中，由coa2A-

2

cosA+1≤0，得 2cos²A-

2

cosA≤0，求得 0≤cosA≤

2

2

，∴A∈[

π

4

，

π

2

]．
（2）設(shè)sinA+cosA=t，則 sinAcosA=

t2-1

2

，
所以原函數(shù)化為y=

t2

2

+λt-

1

2

，它的對稱軸t=-λ．
又t=

2

sin（A+

π

4

），由 A∈[

π

4

，

π

2

]可得 A+

π

4

∈[

π

2

，

3π

4

]，∴t∈[1，

2

]．
當(dāng)-λ＜1，即λ＞-1時，y_min=λ．
當(dāng)1≤-λ≤

2

，即-

2

≤λ≤-1時，y_min=-

λ2+1

2

．
當(dāng)-λ＞

2

，即λ＞-

2

時，y_min=

1

2

+

2

λ．

點評：本題主要考查二倍角的余弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．