Question

如圖1所示的等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC、BC邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將△ABC沿CD折疊成如圖2所示的直二面角A-DC-B．

（1）試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）求四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知中E、F分別為AC、BC中點(diǎn)，由三角形中位線定理可得EF∥AB，由線面平行的判定定理可得AB∥平面DEF
（2）以DA，DB，DC為棱補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則四面體A-DBC的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而求出球的體積，和四棱錐D-ABFE的體積，可得答案．

解答： 解：（1）如圖所示，∵E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，
∴AB∥EF．
∵AB?面DEF，EF?面DEF，
∴AB∥面DEF．
（2）以DA，DB，DC為棱補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則四面體A-DBC的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球．
設(shè)球的半徑為R，則a²+a²+3a²=（2R）²，
∴R=

5

2

a．
于是球的體積V₁=

4

3

πR3=

5 5

6

πa3．
又V_A-BCD=

1

3

•S_△BCD•AD=

3

6

a3，V_E-DFC=

1

3

•S_△DFC•

1

2

AD=

3

24

a3，
四棱錐D-ABFE的體積V₂=V_A-BCD-V_E-DFC=

3

8

a3．
∴四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比為

20 15

9

π

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，點(diǎn)到平面的距離，其中（1）的關(guān)鍵是證得EF∥AB，（2）的關(guān)鍵是計(jì)算出四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積